Precálculo

Fecha de publicación: 03/10/2026

Última modificación: 18/10/2026

Los Números

Leyes de los exponentes y radicales

\text{a) } a^{m}a^{n}=a^{m+n}

\text{b) }(a^{m})^{n}=a^{mn}

\text{c) }(ab)^{n}=a^{n}b^{n}

\text{d) }\left(\frac{a}{b} \right)^{n}=\frac{a^{n}}{b^{n}}

\text{e) }\frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}

\text{f) }a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}

\text{g) }a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}

\text{h) }a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^{m}}

\text{i) }a^{\frac{m}{n}}=\left(\sqrt[n]{a} \right)^{m}

\text{j) }\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a} \sqrt[n]{b}

\text{k) }\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}

\text{l) }\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[mn]{a}

Productos notables

\text{a) Binomios conjugados: }(x+y)(x-y)=x^{2}-y^{2}

\text{b) Binomios al cuadrado: }(x\pm y)^{2}=x^{2}\pm 2xy + y^{2}

\text{c) Binomios al cubo: }(x\pm y)^{3}=x^{3}\pm 3x^{2}y + 3xy^{2} \pm y^{2}

\text{d) }(x + y)^{2}=x^{2}+2xy + y^{2}

\text{e) }(x – y)^{2}=x^{2}-2xy + y^{2}

\text{f) }(x + y)^{3}=x^{3}+3x^{2}y + 3xy^{2} + y^{3}

\text{g) }(x – y)^{3}=x^{3}-3x^{2}y + 3xy^{2} – y^{3}

\text{h) }(x + y)^{4}=x^{4}+4x^{3}y +6x^{2}y^{2}+ 4xy^{3} + y^{3}

\text{i) }(x – y)^{4}=x^{4}-4x^{3}y +6x^{2}y^{2}- 4xy^{3} – y^{4}

\text{j) }(x + y)^{5}=x^{5}+5x^{4}y +10x^{3}y^{2}+10x^{2}y^{3} + 5xy^{4} + y^{5}

\text{k) }(x – y)^{5}=x^{5}-5x^{4}y +10x^{3}y^{2}-10x^{2}y^{3} + 5xy^{4} – y^{5}

Teorema del binomio

\text{Sea }n \in \mathbb{N},\text{ entonces:}

(x+y)^{n}=\sum_{r=0}^{n} \binom{n}{r} x^{n-r}y^{r}

\text{\textbf{Nota: }}\binom{n}{r}={_n}C_{r}=\frac{n!}{r!(n-r)!}

Factores notables

\text{a) Diferencia de cuadrados: }x^{2}-y^{2}=(x+y)(x-y)

\text{b) Suma de cubos: }x^{3}+y^{3}=(x+y)(x^{2}-xy+y^{2})

\text{c) Diferencia de cubos: }x^{3}-y^{3}=(x-y)(x^{2}+xy+y^{2})

\text{d) Trinomio cuadrado perfecto: }x^{2}\pm 2xy+y^{2}=(x\pm y)^{2}

\text{e) }x^{2}-y^{2}=(x- y)(x+y)

\text{f) }x^{3}-y^{3}=(x- y)(x^{2}+xy+y^{2})

\text{g) }x^{3}+y^{3}=(x+ y)(x^{2}+xy+y^{2})

\text{h) }x^{4}-y^{4}=(x-y)(x+y)(x^{2}-xy+y^{2})

\text{i) }x^{5}-y^{5}=(x-y)(x^{4}-x^{3}y+x^{2}y^{2}+xy^{3}+y^{4})

\text{j) }x^{5}+y^{5}=(x+y)(x^{4}-x^{3}y+x^{2}y^{2}-xy^{3}+y^{4})

\text{k) }x^{6}-y^{6}=(x-y)(x+y)(x^{2}+xy+y^{2})(x^{2}-xy+y^{2})

\text{l) }x^{4}+x^{2}y^{2}+y^{4}=(x^{2}+xy+y^{2})(x^{2}-xy+y^{2})

\text{m) }x^{4}+4y^{4}=(x^{2}-2xy+2y^{2})(x^{2}+2xy+2y^{2})

Leyes de los logaritmos

\text{a) }log_{a}(PQ)=log_{a}(P)+log_{a}(Q)

\text{b) }log_{a}\left(\frac{P}{Q}\right)=log_{a}(P)-log_{a}(Q)

\text{c) }log_{a}(Q^{n})=nlog_{a}(Q)

\text{d) } a^{log_{a}(x)}=x

\text{e) } log_{a}(a^{x})=x

\text{f) } log_{a}(1)=0

\text{g) } a^{log_{a}(a)}=1

\text{h) } log(x)=log_{10}(x)

\text{i) } Ln(x)=log_{e}(x)

\text{j) Cambio de base: } log_{a}(Q)=\frac{log_{b}(Q)}{log_{b}(a)}

Soluciones exactas de ecuaciones algebraicas

\text{a) La \textbf{ecuación cuadrática}: }ax^{2}+bx+c=0 \text{ tiene soluciones:}

x=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

\text{El número }b^{2}-4ac \text{ se llama \textit{discriminante} de la ecuación.}

\text{I) Si }b^{2}-4ac >0 \text{ las raíces son reales y diferentes.}

\text{II) Si }b^{2}-4ac=0 \text{ las raíces son reales e iguales.}

\text{III) Si }b^{2}-4ac<0 \text{ las raíces son complejas conjugadas.}

\text{b) Para la \textbf{ecuación cúbica}: }x^{3}+ax^{2}+bx+c=0 \text{ sean:}

Q=\frac{3b-a^{2}}{9},

R=\frac{9ab-27c-2a^{3}}{54}

S=\sqrt[3]{R+\sqrt{Q^{3}+R^{2}}},

T=\sqrt[3]{R-\sqrt{Q^{3}+R^{2}}}

\text{Entonces las soluciones son:}

x_{1}=S+T-\frac{a}{3}

x_{2}=-\left(\frac{S+T}{2}+\frac{a}{3} \right)+ \left( \frac{(S-T)\sqrt{3}}{2} \right)i

x_{3}=-\left(\frac{S+T}{2}+\frac{a}{3} \right)- \left( \frac{(S-T)\sqrt{3}}{2} \right)i

\text{El número }Q^{3}+R^{2} \text{ se llama \textit{discriminante} de la ecuación.}

\text{I) Si }Q^{3}+R^{2}>0, \text{ hay una raíz real dos son complejas conjugadas.}

\text{II) Si }Q^{3}+R^{2}=0, \text{ las raíces son reales y por lo menos dos son iguales.}

\text{III) Si }Q^{3}+R^{2}<0, \text{ las raíces son reales y diferentes.}

Funciones trigonométricas

Relaciones entre funciones trigonométricas

csc(A)=\frac{1}{sen(A)}

sen^{2}(A)+cos^{2}(A)=1

sec(A)=\frac{1}{cos(A)}

sec^{2}(A)-tan^{2}(A)=1

tan(A)=\frac{sen(A)}{cos(A)}

csc^{2}(A)-cot^{2}(A)=1

cot(A)=\frac{cos(A)}{sen(A)}=\frac{1}{tan(A)}

Potencias de funciones trigonométricas

sen^{2}(A)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2} cos(2A)

cos^{2}(A)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2} cos(2A)

sen^{3}(A)=\frac{3}{4}sen(A)-\frac{1}{4}sen(3A)

cos^{3}(A)=\frac{3}{4}cos(A)+\frac{1}{4}cos(3A)

sen^{4}(A)=\frac{3}{8}-\frac{1}{2}cos(2A)+\frac{1}{8}cos(4A)

cos^{4}(A)=\frac{3}{8}+\frac{1}{2}cos(2A)+\frac{1}{8}cos(4A)

sen^{5}(A)=\frac{5}{8}sen(A)-\frac{5}{16}sen(3A)+\frac{1}{16}sen(5A)

cos^{5}(A)=\frac{5}{8}cos(A)+\frac{5}{16}cos(3A)+\frac{1}{16}cos(5A)

Suma, diferencia y producto las funciones trigonométricas

sen(A)+sen(B)=2sen \left(\frac{A+B}{2} \right)cos\left(\frac{A-B}{2} \right)

sen(A)-sen(B)=2sen \left(\frac{A-B}{2} \right)cos\left(\frac{A+B}{2} \right)

cos(A)+cos(B)=2cos \left(\frac{A+B}{2} \right)cos\left(\frac{A-B}{2} \right)

cos(A)-cos(B)=2sen \left(\frac{A+B}{2} \right)sen\left(\frac{B-A}{2} \right)

sen(A)sen(B)=\frac{1}{2}\left[cos(A-B)-cos(A+B)\right]

cos(A)cos(B)=\frac{1}{2}\left[cos(A-B)+cos(A+B)\right]

sen(A)cos(B)=\frac{1}{2}\left[sen(A-B)+sen(A+B)\right]

Funciones hiperbólicas

\text{Seno hiperbólico de }x=senh(x)=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}

\text{Coseno hiperbólico de }x=cosh(x)=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}

\text{Tangente hiperbólico de }x=cosh(x)=\frac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}

\text{Cosecante hiperbólica de }x=csch(x)=\frac{2}{e^{x}-e^{-x}}

\text{Secante hiperbólica de }x=csch(x)=\frac{2}{e^{x}+e^{-x}}

\text{Cotangente hiperbólica de }x=coth(x)=\frac{e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}

Relación entre las funciones hiperbólicas

tanh(x)=\frac{senh(x)}{cosh(x)}

coth(x)=\frac{1}{tanh(x)}=\frac{cosh(x)}{senh(x)}

sech(x)=\frac{1}{cosh(x)}

csch(x)=\frac{1}{senh(x)}

cosh^{2}(x)-senh^{2}(x)=1

sech^{2}(x)+tanh^{2}(x)=1

coth^{2}(x)-csch^{2}(x)=1

$A$ en grados	$A$ en radianes	$sen(A)$	$cos(A)$	$tan(A)$	$cot(A)$	$sec(A)$	$csc(A)$
$0^{o}$	$0$	$0$	$1$	$0$	$\infty$	$1$	$\infty$
$15^{o}$	$\frac{\pi}{12}$	$\frac{1}{4}(\sqrt{6}-\sqrt{2})$	$\frac{1}{4}(\sqrt{6}+\sqrt{2})$	$2-\sqrt{3}$	$2+\sqrt{3}$	$\sqrt{6}-\sqrt{2}$	$\sqrt{6}+\sqrt{2}$
$30^{o}$	$\frac{\pi}{6}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}\sqrt{3}$	$\frac{1}{3}\sqrt{3}$	$\sqrt{3}$	$\frac{2}{3}\sqrt{3}$	$2$
$45^{o}$	$\frac{\pi}{4}$	$\frac{1}{2}\sqrt{2}$	$\frac{1}{2}\sqrt{2}$	$1$	$1$	$\sqrt{2}$	$\sqrt{2}$
$60^{o}$	$\frac{\pi}{3}$	$\frac{1}{2}\sqrt{3}$	$\frac{1}{2}$	$\sqrt{3}$	$\frac{1}{3}\sqrt{3}$	$2$	$\frac{2}{3}\sqrt{3}$
$75^{o}$	$\frac{5\pi}{12}$	$\frac{1}{4}(\sqrt{6}+\sqrt{2})$	$\frac{1}{4}(\sqrt{6}-\sqrt{2})$	$2+\sqrt{3}$	$2-\sqrt{3}$	$\sqrt{6}+\sqrt{2}$	$\sqrt{6}-\sqrt{2}$
$90^{o}$	$\frac{\pi}{2}$	$1$	$0$	$\pm \infty$	$0$	$\pm \infty$	$1$
$105^{o}$	$\frac{7\pi}{12}$	$\frac{1}{4}(\sqrt{6}+\sqrt{2})$	$\frac{1}{4}(\sqrt{6}-\sqrt{2})$	$-(2+\sqrt{3})$	$-(2-\sqrt{3})$	$-(\sqrt{6}+\sqrt{2})$	$\sqrt{6}-\sqrt{2}$
$120^{o}$	$\frac{2\pi}{3}$	$\frac{1}{2}\sqrt{3}$	$-\frac{1}{2}$	$-\sqrt{3}$	$-\frac{1}{3}\sqrt{3}$	$-2$	$\frac{2}{3}\sqrt{3}$
$135^{o}$	$\frac{3\pi}{4}$	$\frac{1}{2}\sqrt{2}$	$-\frac{1}{2}\sqrt{2}$	$-1$	$-1$	$-\sqrt{2}$	$\sqrt{2}$
$150^{o}$	$\frac{5\pi}{6}$	$\frac{1}{2}$	$-\frac{1}{2}\sqrt{3}$	$-\frac{1}{3}\sqrt{3}$	$-\sqrt{3}$	$-\frac{2}{3}\sqrt{3}$	$2$
$165^{o}$	$\frac{11\pi}{12}$	$\frac{1}{4}(\sqrt{6}-\sqrt{2})$	$-\frac{1}{4}(\sqrt{6}+\sqrt{2})$	$-(2-\sqrt{3})$	$-(2+\sqrt{3})$	$-(\sqrt{6}-\sqrt{2})$	$\sqrt{6}+\sqrt{2}$
$180^{o}$	$\pi$	$0$	$-1$	$0$	$\pm \infty$	$-1$	$\pm \infty$
$195^{o}$	$\frac{13\pi}{12}$	$-\frac{1}{4}(\sqrt{6}-\sqrt{2})$	$-\frac{1}{4}(\sqrt{6}+\sqrt{2})$	$2-\sqrt{3}$	$2+\sqrt{3}$	$-(\sqrt{6}-\sqrt{2})$	$-(\sqrt{6}+\sqrt{2})$
$210^{o}$	$\frac{7\pi}{6}$	$-\frac{1}{2}$	$-\frac{1}{2}\sqrt{3}$	$\frac{1}{3}\sqrt{3}$	$\sqrt{3}$	$\frac{1}{3}\sqrt{3}$	$-2$
$225^{o}$	$\frac{5\pi}{4}$	$-\frac{1}{2}\sqrt{2}$	$-\frac{1}{2}\sqrt{2}$	$1$	$1$	$-\sqrt{2}$	$-\sqrt{2}$
$240^{o}$	$\frac{4\pi}{3}$	$-\frac{1}{2}\sqrt{3}$	$-\frac{1}{2}$	$\sqrt{3}$	$\frac{1}{3}\sqrt{3}$	$-2$	$-\frac{2}{3}\sqrt{3}$
$255^{o}$	$\frac{17\pi}{12}$	$-\frac{1}{4}(\sqrt{6}+\sqrt{2})$	$-\frac{1}{4}(\sqrt{6}-\sqrt{2})$	$2+\sqrt{3}$	$2-\sqrt{3}$	$-(\sqrt{6}+\sqrt{2})$	$-(\sqrt{6}-\sqrt{2})$
$270^{o}$	$\frac{3\pi}{2}$	$-1$	$0$	$\pm \infty$	$0$	$\mp \infty$	$-1$
$285^{o}$	$\frac{19\pi}{12}$	$-\frac{1}{4}(\sqrt{6}+\sqrt{2})$	$-\frac{1}{4}(\sqrt{6}-\sqrt{2})$	$-(2+\sqrt{3})$	$-(2-\sqrt{3})$	$\sqrt{6}+\sqrt{2}$	$-(\sqrt{6}-\sqrt{2})$
$300^{o}$	$\frac{5\pi}{3}$	$-\frac{1}{2}\sqrt{3}$	$\frac{1}{2}$	$-\sqrt{3}$	$-\frac{1}{3}\sqrt{3}$	$2$	$-\frac{2}{3}\sqrt{3}$
$315^{o}$	$\frac{7\pi}{4}$	$-\frac{1}{2}\sqrt{2}$	$\frac{1}{2}\sqrt{2}$	$-1$	$-1$	$\sqrt{2}$	$-\sqrt{2}$
$330^{o}$	$\frac{11\pi}{6}$	$-\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}\sqrt{3}$	$-\frac{1}{3}\sqrt{3}$	$-\sqrt{3}$	$\frac{2}{3}\sqrt{3}$	$-2$
$345^{o}$	$\frac{23\pi}{12}$	$-\frac{1}{4}(\sqrt{6}-\sqrt{2})$	$\frac{1}{4}(\sqrt{6}+\sqrt{2})$	$-(2-\sqrt{3})$	$-(2+\sqrt{3})$	$\sqrt{6}-\sqrt{2}$	$-(\sqrt{6}+\sqrt{2})$
$360^{o}$	$2\pi$	$0$	$1$	$0$	$\mp \infty$	$1$	$\mp \infty$